PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores A y B es el producto de sus módulos por el coseno del angulo que esos vectores forman entre si.

• El producto escalar de dos vectores es un escalar, y no un vector.
• El producto escalar de dos vectores es igual que el producto escalar de uno de ellos por el vector de proyección ortogonal del otro sobre el.
• El modulo de la proyección ortogonal de A sobre B es igual al producto escalar de A por B, dividido por el modulo de B, cuando la proyección A Y B tienen el mismo sentido
• Si A y B son distintos de cero y AB es igual a cero, entonces los vectores A y B son perpendiculares.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

El producto vectorial de A y B se designa por AxB  y tiene las siguientes características:

• El modulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno del angulo que forman.
• La dirección de AxB es la de la recta perpendicular a los vectores A y B
• El producto vectorial no es conmutativo

RESTA DE VECTORES

Para restar dos vectores libres U y V se suma U con el opuesto de V.

Los componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

U= (U1, U2)                             V= (V1, V2)
U-V= (U1-V1, U2-V2)

EJEMPLO:

U= (-2, 5)                       V= (3, -1)

• U+V= (-2+3, 5-1)= (1, 4)
• U-V= (-2-3, 5-(-1))= (-5, 6)

SUMA DE VECTORES

Para sumar dos vectores libres U y V se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de  uno coincida con el origen de otro.

REGLA DEL PARALELOGRAMO

Se toma como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus componentes:

• U= (U1, U2)
• V= (V1, V2)
• U+V= (U1+V1, U2+V2)

CONCEPTOS BASICOS

CALCULO VECTORIAL: Es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores  en 2 o mas dimensiones, Proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones  físicas y ayuda en gran medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.

Hay cuatro operaciones que son importantes en el calculo vectorial:

1. GRADIENTE: Mide la masa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
2. ROTOR O ROTACIONAL: Mide la tendencia de un campo vectorial o rotal alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
3. LAPLACIANO: Relaciona el promedio de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.
4. DIVERGENCIA: Mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

DEFINICIÓN DE VECTOR: Un vector es un segmento orientado en el espacio. Se puede caracterizar por cuatro elementos que son:

• Punto de aplicación u origen.
• Dirección o linea de acción, que es la recta que contiene al vector.
• Sentido del vector.
• Modulo del vector, que es su longitud.

HISTORIA

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploracion del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían mejorar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este Trabajo se debe principalmente al físico americano Josiah Willard Gibbs